복소 사영평면의 오직 유리 특이점만을 가진 퇴화들

Marcos Canedo Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile. mgcanedo@uc.cl 및 Giancarlo Urzúa Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile. gianurzua@gmail.com

초록.

Wahl의 추측은 rational homology disk smoothing을 허용하는 이차원 특이점들이 weighted homogeneous라고 말한다. 그 추측을 가정하여, 우리는 복소 사영평면의 오직 유리 특이점만을 가진 모든 정규 퇴화들을 분류한다. 그것들은 정확히 Markov 방정식에 의해 제어되는 Manetti 및 Hacking–Prokhorov가 분류한 곡면들과, 네 개의 non-log canonical 특이점을 포함하는 여섯 개의 새로운 퇴화들이다.

1. 서론

에서[1], Bădescu는 다음을 가진 유리곡면의 정규 퇴화들을 연구했다 $K^{2} \geq 0$ . 더 정확히는, 그는 proper deformations를 고려했다

(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)

원판 위에서 $𝔻$ , 여기서 $W_{t}$ 는 다음을 가진 비특이 유리곡면이다 $K_{W_{t}}^{2} \geq 0$ 에 대해 $t \neq 0$ , 그리고 $W := W_{0}$ 는 정규 곡면이다. 그는 (A) 다음 중 하나임을 증명했다 $W$ 는 많아야 유리 특이점들을 가진 유리곡면이거나, 또는 (B) $W$ 는 정확히 하나의 비유리 특이점을 가지며 몇몇 특정 성질들을 만족한다 (참조[1, Thm. 1]자세한 내용). 다음일 때 $W_{t} = ℙ^{2}$ , 그는 만약 $K_{W}$ 가 Cartier이면, 그러면 $W$ 는 다음 중 하나임을 보였다 $ℙ^{2}$ 또는 비특이 평면 삼차곡선 위의 타원 원뿔[1, (4.3) Thm.](이는 다음의 유일한 strictly log canonical 퇴화이다 $ℙ_{ℂ}^{2}$ 에 의해[11, Thm. 8.5]). Bădescu는 또한 추가 예들의 원천으로서 비특이 평면곡선 위에서 “원뿔을 쓸어내는” 고전적 구성을 지적했고, 이것들이 다음의 모든 정규 퇴화들인지 물었다 $ℙ^{2}$ [1, (4.8.2)]. 이는 그렇지 않았다. 에서[14], Manetti는 다음의 무한히 많은 퇴화들을 발견했다 $ℙ^{2}$ 유형 (A)의. 그는 다음에서 증명했다[14, Thm. 11]유형 (A)에 대해 그러한 퇴화들은 $W$ 반드시 (A1) 오직 몫 특이점들만 가지거나 (A2) 많아야 하나의 비몫 특이점을 가져야 한다. (A1)에 대해, 그는 다음의 특이점들이 $W$ Wahl 특이점들이며, 많아야 세 개이고, 그 퇴화가 $ℚ$ -Gorenstein[14, Main Thm.](또한 참조[16, III and IV]). 마지막으로, Hacking과 Prokhorov는 다음에서[9]유형 (A1)의 임의의 퇴화가 다음의 $ℚ$ -Gorenstein partial smoothing임을 증명했다 $ℙ (a^{2}, b^{2}, c^{2})$ , 여기서 $(a, b, c)$ 는 Markov 방정식을 만족한다

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 ​ a ​ b ​ c .

A $ℚ$ HD특이점은 rational homology disk smoothing, 즉 Milnor 수가 다음과 같은 smoothing을 허용하는 이차원 정규 특이점이다 $0$ . J. Wahl의 잘 알려진 추측은[22, 21]모든 $ℚ$ HD특이점이 weighted homogeneous라고 말한다[18, 3]. 다음에 의해[20]그리고[4], weighted homogeneous인 다음의 명시적 분류가 있다 $ℚ$ HD특이점들. 우리는 Figures에 보인 것처럼, 그들의 minimal resolutions의 별 모양 쌍대 그래프들에 의한 그들의 분류를 참조한다2그리고3. Wahl의 추측이 성립한다는 가정하에, 이 논문에서 우리는 유형 (A2)의 모든 퇴화들을 분류하며, 따라서 다음의 정규 퇴화들의 분류를 끝낸다 $ℙ_{ℂ}^{2}$ 오직 유리 특이점들만을 가진.

정리 1.1.

모든 $ℚ$ HD특이점이 weighted homogeneous라고 가정하자. 그러면 다음의 모든 정규 퇴화는 $ℙ_{ℂ}^{2}$ 오직 유리 특이점들만을 가지며, 다음의 partial $ℚ$ -Gorenstein smoothing이거나 $ℙ (a^{2}, b^{2}, c^{2})$ , 여기서 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 a b c$ , 또는 여섯 곡면 중 하나이다 $W_{j}$ , $W_{f}$ , $W_{c}$ , $W_{c 5}$ , $W_{b}$ , 그리고 $W_{b 13}$ Figure에 보인1.

Refer to caption — Figure 1.다음의 여섯 non-log canonical 유리 퇴화들의 minimal resolutions $ℙ_{ℂ}^{2}$ . 그것들은 모두 Hirzebruch surface로 blow down된다 $𝔽_{8}$ .

따라서 다음의 퇴화들에서 발생하는 네 개의 새로운 특이점들이 있다 $ℙ_{ℂ}^{2}$ . 그것들은 다음이다 $ℚ$ HD유형 (b)의 특이점들, 다음을 가진 $p = 2$ , $q = r = 4$ ( $𝒩 (3, 4, 4)$ ); 유형 (c), 다음을 가진 $r = 4$ , $q = 1$ ( $𝒩 (0, 1, 4)$ ); 유형 (f), 다음을 가진 $q = 2$ ( $ℳ (0, 2, 0)$ ); 그리고 유형 (j), 다음을 가진 $q = 4$ ( $𝒞_{3}^{3} (4)$ ) ¹¹1괄호 안은 다음에서의 원래 표기이다[20, 21].. 그들의 지수들은 $58$ , $9$ , $8$ , 그리고 $16$ , 각각이다. 특히, 다음의 정규 퇴화들이 있다 $ℙ_{ℂ}^{2}$ 그 지수들이 Markov 수가 아닌 (그러나 그것들은 여전히 다음의 추측들과 일관된다[7]). 그 분류는 또한 유형 (A2)의 퇴화들이 많아야 $3$ 개의 특이점을 가진다는 것을 보여준다. 왜냐하면 새로운 것들은 오직 $1$ 또는 $2$ 개의 특이점만을 가지기 때문이다 (참조[15, Cor. 11]). 사실, 그들 중 네 개는 단일 특이점을 가지며, 나머지 두 개는 전자의 두 개에 slidings를 적용하여 얻어지고[5, Def. 3.17]특이점들에서 Manetti 및 Hacking–Prokhorov family와의 두 공통 퇴화를 생성한다 $\frac{1}{5^{2}} (1, 4)$ 그리고 $\frac{1}{13^{2}} (1, 25)$ .

새로운 퇴화들 중 하나를 고려하자 $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ . 그러면 그것의 Seifert blow-up은[23]다음의 slc 퇴화를 정의한다 $ℙ_{ℂ}^{2}$ 두 곡면으로 이루어진, $W^{'}$ (다음의 proper transform $W$ ) 그리고 $Z$ (compactified Milnor fiber), 하나의 $ℙ_{ℂ}^{1}$ 을 따라 붙여지며 세 개의 orbifold double normal crossing 특이점들을 가진다. 그 canonical class는 ample이 아니다 (다음과 비교[11, Lem. 9.5]), 그리고 그것은 extremal flipping neighborhood를 정의한다 $(Γ^{-} \subset 𝒲) \to (q \in 𝒴)$ .

정리 1.2.

다음이라 하자 $(W^{+} \cup Z^{+} \subset 𝒲^{+}) \to (0 \in 𝔻)$ 를 flipping하여 얻어진 퇴화라고 하자 $(Γ^{-} \subset 𝒲) \to (q \in 𝒴)$ . 그러면 다음을 수축하는 divisorial contraction이 존재한다 $(W^{+} \cup Z^{+} \subset 𝒲^{+}) \to (\bar{Z} \subset \bar{𝒲})$ 수축하는 $W^{+}$ 그렇게 해서 유도된 퇴화 $(\bar{Z} \subset \bar{𝒲}) \to (0 \in 𝔻)$ 는 $ℚ$ -Gorenstein이고 다음을 만족한다:

(1)

만약 $W$ 가 하나의 특이점을 가지면, 그러면 $\bar{Z} = ℙ_{ℂ}^{2}$ ;
(2)

만약 $W = W_{c 5}$ , 그러면 $\bar{Z}$ 는 오직 그 특이점만을 가진다 $\frac{1}{5^{2}} (1, 4)$ ;
(3)

만약 $W = W_{b 13}$ , 그러면 $\bar{Z}$ 는 오직 그 특이점만을 가진다 $\frac{1}{13^{2}} (1, 25)$ .

우리는 또한 정규 사영곡면을 구성한다 $W$ 다음을 가진 $- K_{W}$ ample, $K_{W}^{2} = 9$ , $b_{2} (W) = 1$ , 그리고 Beke, Plamenevskaya, Starkston이 다음에서 연구한 유리 특이점들 중 하나[2]. 이 특이점은 rational homology disk Stein filling을 허용한다[2, Thm. 1.1]그러나 없다 $ℚ$ HDsmoothing. 그것은 symplectically rationally blow down되어 다음이 된다 $ℙ_{ℂ}^{2}$ (정리5.1).

감사의 말

첫 번째 저자는 ANID 박사 장학금 21220497의 지원을 받았고, 두 번째 저자는 FONDECYT regular grant 1230065의 지원을 받았다.[6]

2. 예비 사항

우리는 다음의 Sections 2와 3의 표기와 몇 가지 사실들을 사용할 것이다[5]. 다음이라 하자 $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ 가 다음의 정규 퇴화라고 하자 $ℙ_{ℂ}^{2}$ 유리 비몫 특이점을 가진 유형 (A2)의. 다음이라 하자 $l$ 가 다음의 특이점들의 수라고 하자 $W$ . 다음 도표를 고려하자

여기서 사상 $ϕ$ 은 다음의 minimal resolution이고 $W$ , 그리고 $π$ 는 다음의 합성이다 $m$ blow-ups로서 다음이 되도록 하는 $S$ 는 $(- 1)$ -curves를 가지지 않는다. 다음이라 하자 $E_{i}$ 가 다음 안의 pull-back divisor라고 하자 $X$ 다음의 $i$ -번째 점이 blow-up된 것, 다음을 통하여 $π$ . 따라서, $E_{i}$ 는 연결된, 아마도 non-reduced인 다음의 tree이다 $ℙ_{ℂ}^{1}$ s, $E_{i}^{2} = - 1$ , 그리고 $E_{i} \cdot E_{j} = 0$ 에 대해 $i \neq j$ . 다음이라 하자 $E = \sum_{i = 1}^{m} E_{i}$ . 우리는 다음을 가진다 $K_{X} \sim π^{*} (K_{S}) + E$ . 다음이라 하자 $C = \sum_{i = 1}^{l} C_{i}$ 가 다음의 exceptional (reduced) divisor라고 하자 $ϕ$ , 여기서 $C_{i}$ 는 각 특이점 위의 exceptional divisors이다. 다음이라 하자 $| C_{i} |$ 가 다음 안의 곡선들의 수라고 하자 $C_{i}$ .

다음에 의해[1, Thm. 1], 우리는 다음을 안다 $W$ 는 rational이다. 다음에서처럼[14, 16], 선택하자 $π : X \to S = 𝔽_{d}$ 최대의 다음을 가진 $d \geq 2$ . 우리는 다음을 상기한다 $ℙ_{ℂ}^{1}$ -bundle $𝔽_{d} \to ℙ_{ℂ}^{1}$ 은 유일한 negative curve를 가진다 $σ_{\infty}$ 다음을 가진 $σ_{\infty}^{2} = - d$ . 다음이라 하자 $F$ 가 fiber의 class라고 하자. 우리는 유도된 fibration을 가진다 $π^{'} : X \to ℙ_{ℂ}^{1}$ 다음의 합성을 통해 $π$ 다음과 함께 $𝔽_{d} \to ℙ_{ℂ}^{1}$ . 우리의 최대 선택 때문에, 다음 위에는 blow-ups가 없다 $σ_{\infty}$ .

Remark 2.1.

우리는 다음에 대해 다음의 알려진 사실들을 가진다 $W$ .

(R1)

다음에 의해[14, Prop. 3], 우리는 다음을 가진다 $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ 는 projective이고, $q (W) = h^{1} (𝒪_{W}) = 0$ 그리고 $p_{g} (W) = h^{2} (𝒪_{W}) = 0$ .
(R2)

다음에 의해[14, Thm. 11], 우리는 다음 안에 많아야 하나의 비몫 특이점을 가진다 $W$ , 그리고 $C$ 는 다음으로 이루어진다 $σ_{\infty} \subset X$ 및 다음의 fibers의 일부 irreducible components $π^{'}$ . 다음이라 하자 $C_{1}$ 가 비몫 특이점 위의 component라고 하자. 그러면 $σ_{\infty} \subset C_{1}$ .
(R3)

다음에 의해[14, Cor. 5], canonical class $K_{𝒲}$ 는 $ℚ$ -Cartier이고, $K_{W}^{2} = 9$ . 특히, 다음의 임의의 몫 특이점은 $W$ 반드시 Wahl이고 $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ 는 $ℚ$ -Gorenstein smoothing이다.
(R4)

에 의해[1, Thm. 1], 우리는 다음을 얻는다 $ρ (W) = 1$ . 따라서, 만약 $F_{i}$ 가 의 fiber이고 $π^{'}$ 의 성분들을 가지며 $C$ , 그러면 정확히 하나의 $(- 1)$ -curve가 안에 있고 $F_{i}$ 안의 임의의 다른 curve는 $F_{i}$ 에 속한다 $C$ . 하자 $# f$ 를 그러한 fiber들의 수라고 하자. 우리는 다음을 얻는다 $- K_{W}$ 는 ample이다.
(R5)

의 tangent sheaf는 $W$ 이다 $T_{W} := ℋ {om}_{𝒪_{W}} (Ω_{W}^{1}, 𝒪_{W})$ . 에 의해[15, Lem. 11], 우리는 다음을 얻는다 $H^{2} (W, T_{W}) = 0$ , 따라서 변형하는 데 local-to-global obstruction이 없다 $W$ .

정의 2.2.

임의의 주어진 $E_{i}$ 에 대해, 우리는 divisor들의 집합을 정의한다

C_{o ​ u ​ t, i} = {Γ \in C : Γ ⊈ E_{i}} and C_{i ​ n, i} = {Γ \in C : Γ \subseteq E_{i}} .

하자 $S_{h}$ 를 다음과 같은 것들의 집합이라 하자 $E_{i}$ 들 중 다음을 만족하는 것 $E_{i} \cdot C_{o u t, i} = h$ . 하자 $T_{h}$ 를 다음과 같은 것들의 집합이라 하자 $E_{i}$ 들 중 안에 있는 것 $S_{h}$ 다음을 만족하는 $E_{i} \cdot C_{i n, i} = 0$ . 하자 $s_{h} = | S_{h} |$ 그리고 $t_{h} = | T_{h} |$ 를 대응하는 cardinality들이라 하자.

임의의 divisor $D$ 가 nonsingular projective surface 위에 있을 때 $Y$ , 우리는 정의한다

q ​ (D) := - \frac{1}{2} ​ (D^{2} + D \cdot K_{Y}) .

만약 $D$ 가 effective이면, 그러면 $q (D) = χ (𝒪_{D})$ .

보조정리 2.3.

우리는 다음을 가진다 $s_{0} = 0$ , $s_{i} = 0$ 에 대해 $i \geq 3$ , $# f = t_{1} + t_{2}$ , 그리고 $q (E + C) = 1 + s_{1} - t_{1}$ .

증명.

에 대해 $E_{k}$ 두 가지 가능성이 있다: 그것이 fiber 위의 마지막 $(- 1)$ -curve이거나 그렇지 않다. 첫 번째 경우에는, $E_{k} \in T_{1} \cup T_{2}$ . 두 번째 경우에는, $E_{k} \in S_{h}$ 어떤 것에 대해 $h = 1, 2$ , projection formula와 다음 사실에 의해 $π^{*} {(π (C))}_{red}$ 는 simple normal crossings divisor이다. 에 의해[5, Rem. 3.4], 우리는 다음을 얻는다 $q (E + C) = q (π (C)) + s_{1} - t_{1}$ , 그리고 직접적으로 $q (π (C)) = 1$ . ∎

보조정리 2.4.

의 각 singularity에 대해 $W$ , 에 의해 유도된 smoothing의 Milnor number는 $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ 와 같다 $0$ .

증명.

하자 $p_{1}, \dots, p_{l}$ 를 의 singular point들이라 하고 $W$ , 그리고 하자 $μ_{i}$ 를 에 의해 유도된 smoothing의 Milnor number라 하자 $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ 에서 $p_{i}$ . 정의에 의해, $μ_{i}$ 는 대응하는 Milnor fiber의 두 번째 Betti number이다. minimal resolution $X \to W$ 과 smoothing은 topological Euler characteristic들 사이에 다음 관계를 준다:

χ_{t ​ o ​ p} (X) = χ_{t ​ o ​ p} (W ∖ \cup_{i = 1}^{l} p_{i}) + \sum_{i = 1}^{l} χ_{t ​ o ​ p} (C_{i}) = χ_{t ​ o ​ p} (W_{t}) - \sum_{i = 1}^{l} (1 + μ_{i}) + \sum_{i = 1}^{l} χ_{t ​ o ​ p} (C_{i}) .

여기서 우리는 smoothing의 Milnor fiber들의 첫 번째 Betti number가 항상 $0$ 라는 것을 사용하고 있으며, 이것은 Greuel–Steenbrink의 결과이다[8]. 다른 한편으로, 대체하고 $χ (𝒪_{W}) = χ (𝒪_{W_{t}})$ 그리고 Noether formula에 의해, 우리는 얻는다

K_{W_{t}}^{2} + \sum_{i = 1}^{l} μ_{i} = 10 ​ χ ​ (𝒪_{X}) - χ_{t ​ o ​ p} ​ (X) + \sum_{i = 1}^{l} (b_{2} ​ (C_{i}) - b_{1} ​ (C_{i})) + 12 ​ \sum_{i = 1}^{l} p_{g} ​ (p_{i} \in W),

여기서 $p_{g} (p_{i} \in W) := {dim}_{ℂ} H^{0} (\bar{X}, {(R^{1} π_{*} 𝒪_{X})}_{p_{i}})$ 는 singularity의 geometric genus이다. 의 모든 singularity들이 $W$ rational이므로, $W$ 는 rational이고, 그리고 $ρ (W) = 1$ , 우리는 얻는다 $K_{W_{t}}^{2} + \sum_{i = 1}^{l} μ_{i} = 10 - (ρ (X) - \sum_{i = 1}^{l} | C_{i} |) = 10 - 1 = 9$ . 그러나 $K_{W_{t}}^{2} = 9$ , 따라서 $μ_{i} = 0$ 모든 것에 대해 $i$ . ∎

이런 방식으로, 의 singularity들은 $W$ 이다 $ℚ$ HD. 이제부터, 우리는 Wahl의 추측, 즉 다음을 가정한다 $ℚ$ HDsingularity들은 weighted homogeneous이며, Figures에 보인 그들의 minimal resolution들의 star dual graph에 의한 분류를 참조한다2그리고3(보라[6]일부 계산에 대해). 우리는 세 개 또는 네 개의 다른 curve와 만나는 star graph 안의 curve를central curve라고 부르고, 그것에서 뻗어 나오는 curve들의 chain들을leg들.

보조정리 2.5.

우리는 다음을 가진다 $d = 4 + 2 # f + s_{1} - t_{1}$ 그리고 어떤 valency도 없다 $4$ $ℚ$ HDsingularity가 안에 $W$ .

증명.

에 의해[5, Prop. 3.5], 우리는 다음을 얻는다 $K_{W}^{2} - K_{S}^{2} = K_{S} \cdot π (C) - q (E + C) + v_{4}$ , 여기서 $v_{4}$ 는 valency의 수이다 $4$ $ℚ$ HDsingularity들이 안에 있는 $W$ . 우리는 가진다 $K_{W}^{2} - K_{S}^{2} = 1$ , $K_{S} \cdot π (C) = d - 2 - 2 # f$ , 그리고 $q (E + C) = 1 + s_{1} - t_{1}$ Lemma에 의해2.3. 따라서 $d = 4 + 2 # f + s_{1} - t_{1} - v_{4} \geq 6$ 왜냐하면 $# f \geq 1$ , $s_{1} - t_{1} \geq 1$ 그리고 $v_{4} = 0$ 또는 $1$ Remark에 의해2.1(R2). 의 분류에 의해 $ℚ$ HD그리고 다시 Remark2.1(R2)에 의해, 우리는 다음을 얻는다 $σ_{\infty}$ 는 의 어떤 leg의 끝에 있다 $C_{1}$ (non-quotient의 star graph $ℚ$ HDsingularity). central curve는 의 한 fiber 안에 놓이므로 $π^{'} : X \to ℙ_{ℂ}^{1}$ , 따라서 $v_{4} = 0$ ; 그렇지 않으면 그 fiber는 적어도 두 개의 $(- 1)$ -curve들을 포함할 것이다. ∎

따름정리 2.6.

우리는 다음을 가진다 $# f = 1$ , 의 한 leg는 $C_{1}$ 에 의해 완전히 contraction되어야 한다 $π$ 다른 것들보다 먼저, $s_{1} - t_{1} \geq 2$ 그리고 $d = 6 + s_{1} - t_{1} \geq 8$ .

증명.

이므로 $σ_{\infty}$ 는 leg의 끝에 있으므로, 우리는 가져야 한다 $# f = 1$ 왜냐하면 우리는 위에서 blow-up할 수 없고 $σ_{\infty}$ 그리고 기껏해야 하나의 $(- 1)$ -curve가 의 fiber들 안에 있다 $π^{'}$ . 우리가 오직 하나의 $(- 1)$ -curve만 의 fiber 안에 가지고 있으므로 $π^{'}$ , 의 한 leg는 $C_{1}$ 다른 것들보다 먼저 완전히 contraction되어야 하며, 이것은 안에 또 다른 원소를 만든다 $S_{1} ∖ T_{1}$ , 따라서 $s_{1} - t_{1} \geq 2$ . 마지막 진술은 Lemma로부터 직접 따른다2.5. ∎

3. 분류

이제 우리는 모든 가능한 minimal resolution들을 결정한다 $X \to W$ 이전 절에서 확립된 제약들을 만족하는. Corollary에 의해2.6, 우리는 Hirzebruch surface로 시작한다 $𝔽_{d}$ 와 함께 $d \geq 8$ , 그리고 의 한 fiber 위의 점들을 blow up한다 $𝔽_{d} \to ℙ_{ℂ}^{1}$ 그 fiber 위에서 가능한 가장 긴 chain을 얻을 때까지. 이것은 Figure에 표현되어 있다4, 여기서 $X^{'} \to 𝔽_{d}$ 는 대응하는 blow-up들의 composition을 나타낸다. 하자 $G \subset X^{'}$ 를 $(- 1)$ 선택된 fiber 위의 -curve라 하자. Hirzebruch–Jung continued fraction들의 관점에서, 우리는 가진다

[a_{s}, \dots, a_{1}, 1, b_{1}, \dots, b_{t}] = 0,

여기서 $a_{i}, b_{j} \geq 2$ . 따라서 우리는 다음을 읽을 수 있다 $a_{i}$ 들로부터 $b_{j}$ s.

보조정리 3.1.

의 proper transform은 $G$ 안에서 $X$ 의 central curve이다 $C_{1}$ .

증명.

위에서의 다음 blow-up은 $X^{'}$ 의 한 점에서 이루어져야 한다 $G$ chain들 중 어느 것과도 만나지 않는 $a_{i}$ 또는 $b_{i}$ , 왜냐하면 chain이 maximal이기 때문이다. 그런 다음 우리는 위에 새로운 maximal chain을 구성한다 $G$ . 만약 의 proper transform이 $G$ 새로운 것과 교차한다면 $(- 1)$ -curve $G^{'}$ , 그러면 다음 blow-up은 위에서 이루어져야 한다 $G^{'}$ , 왜냐하면 그렇지 않으면 의 모든 exceptional divisor들이 $ϕ$ chain들을 형성할 것이기 때문이다. 이 경우, $G$ 는 central curve이다. 다른 한편으로, 만약 의 proper transform이 $G$ 새로운 것과 교차하지 않는다면 $(- 1)$ -curve, 그러면 그것은 central curve여야 한다. ∎

의 세 번째 leg는 $C_{1}$ 로부터 뻗어 나오는 $G$ 다음과 같이 불릴 것이다contractible leg(Corollary에 나타나는 것2.6).

보조정리 3.2.

만약 contractible leg가 하나의 curve로 이루어져 있다면, 그것은 $(- 2)$ -curve이다.

증명.

왜냐하면 $G$ 는 의 central curve이므로 $C_{1}$ , 그것의 self-intersection은 다음이어야 한다 $- 2$ , $- 3$ , 또는 $- 4$ 의 분류에 의해 $ℚ$ HDsingularity들. 위에 $G$ , 우리는 축약 가능한 다리와 함께 $(- 1)$ -곡선을 가지거나, 또는 축약 가능한 다리와 Wahl chain이 $(- 1)$ -곡선으로 연결되어 있다. 만약 $G^{2} = - 4$ , 그러면 잔여 Wahl chain은 $[2, \dots, 2, 3, 2]$ , 이는 결코 Wahl chain이 아니다. 만약 $G^{2} = - 3$ , 그러면 잔여 Wahl chain은 $[2, \dots, 2, 3]$ , 이는 역시 결코 Wahl이 아니다. 마지막으로, 만약 $G^{2} = - 2$ , 그러면 유일한 가능성은 축약 가능한 다리가 단일 $(- 2)$ -곡선이고 Wahl chain이 없다는 것이다. ∎

Lemma 3.3.

유일하게 가능한 다리들 $[d, a_{s}, \dots, a_{1}]$ 및 $[b_{1}, \dots, b_{t}]$ 의 $C_{1}$ 및 $ℚ$ HD유형들(Figure2의 분류로부터)은 다음과 같다:

(L1)

$[d, \underset{α}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}]$ 및 $[α + 1]$ , 다음을 갖는 $α \geq 1$ ; 유형 (a), (b), (c), (f), (j).
(L2)

$[d, \underset{β}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}, 3, \underset{α}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}]$ 및 $[α + 2, β + 2]$ , 다음을 갖는 $α, β \geq 0$ ; 가능하지 않다.
(L3)

$[d, \underset{β}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}, 4, \underset{α}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}]$ 및 $[α + 2, 2, β + 2]$ , 다음을 갖는 $α, β \geq 0$ ; 가능하지 않다.
(L4)

$[d, \underset{γ}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}, 3, \underset{β}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}, 3, \underset{α}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}]$ 및 $[α + 2, β + 3, γ + 2]$ , 다음을 갖는 $α, β, γ \geq 0$ ; 가능하지 않다.

Proof.

먼저, 우리는 가져야 한다 $s, t \geq 1$ , 왜냐하면 fiber 위에는 오직 하나의 $(- 1)$ -곡선만 있기 때문이다. valency의 $ℚ$ HDstar graph들의 분류에 의해 $3$ , 우리는 다리 $[d, a_{s}, \dots, a_{1}]$ 에 대한 모든 가능성을 나열했다. 그 후, 우리는 대응하는 dual들 $[b_{1}, \dots, b_{t}]$ 을 나열했다. (L4)에 대해, 유일하게 가능한 것은 $(g)$ 이다. Lemma3.2에 의해, 이것은 가능하지 않다. (L3)에 대해서도 동일하다. (L2)에 대해서는 유형 (h), (d), (b)가 있다. (h)에 대해서는 같은 논증이다. (d)에 대해서는, 한 다리가 $2$ 개의 곡선을 가지므로 모순이다. (b)에 대해서는, 우리는 $r = 1$ 를 가지지만, 그러면 $d = r + 3 = 4$ 모순이다. (L1)에 대해서는 유형 (a), (b), (c), (f), (i), (j)가 있지만, (i)는 Lemma3.2. ∎

Theorem의 Proof1.1.

degeneration $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ 가 오직 rational singularities만을 가진다고 주어지면, Lemma2.4는 다음을 함의한다 $W$ 가 오직 $ℚ$ HDsingularities만을 가진다. Wahl의 conjecture를 가정하면, 이 singularities는 weighted homogeneous이다. 만약 그것들이 log canonical이면, 그것들은 다음에 의해 log terminal이다[11], 그리고 degenerations는 Hacking–Prokhorov에 의해 분류된다[9, Cor. 1.2]. 그렇지 않으면, 우리는 Lemma에 나열된 가능성들만 남는다3.3(L1), 이를 이제 같은 notation과 $p, q, r$ Figure의 notation으로 분석한다2.

Type (a):우리는 가진다 $d = p + 3$ , 그리고 $α + 1 = q + 3$ 또는 $r + 3$ . 만약 $α + 1 = r + 3$ , 그러면 $p = 0$ , 반면 $d \geq 8$ , 모순이다. 따라서 $α = q + 2$ . 다른 한편, 우리는 또한 가진다 $α = q$ , 이는 불가능하다. 따라서 이 유형은 발생할 수 없다.

Type (b):우리는 가진다 $d = q + 4 \geq 8$ 및 $α + 1 = p + 3$ , 그래서 $α = p + 2$ 따라서 $r = α = p + 2$ . 축약 가능한 다리에 대해 두 경우가 있다: (I) $[\underset{⏟}{2, \dots, 2} q, 3, \underset{⏟}{2, \dots, 2} p, p + 5]$ , 또는 (II) 같은 다리 뒤에 $(- 1)$ -곡선과 Wahl chain이 오는 경우. 경우 (I)에서, 우리는 다리의 어떤 entry에서 $1$ 를 빼야 하며, 도달할 때까지 blow down을 계속해야 한다 $G$ . 이 뺄셈은 다리 안의 $2$ 에서 일어나야 한다. 그것은 처음 $q$ 개의 entry 중 하나일 수 없다, 왜냐하면 $q \geq 4$ , 또한 두 개의 가장 오른쪽 $2$ 들 중 하나일 수도 없다, 안의 $[\dots, \underset{p}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}, \dots]$ . 따라서 유일한 가능성은 이 block에서 가장 왼쪽의 $2$ 이다. 그러면 유일한 가능성은 $p = 2$ , 이는 강제한다 $q = 4$ . 이것은 다음을 갖는 type (b)이다 $p = 2$ 및 $q = r = 4$ . (II)에 대해서는, continued fractions의 duality에 의해 Wahl chain이 다음 형태를 가져야 함을 확인한다 $[q + 3, p + 3, \underset{p + 3}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}]$ . 따라서, $p = 2$ 및 $q = 4$ .

Type (c):우리는 가진다 $d = q + 4 \geq 8$ 및 $α + 1 = 2$ 또는 $r + 4$ . 후자의 경우, 우리는 가져야 한다 $q = 0$ , 이는 불가능하다. 따라서 $α = 1 = r$ . 이전처럼, 축약 가능한 다리에 대해 두 경우가 있다: (I) $[\underset{q}{\underset{⏟}{2, \dots, 2}}, 5]$ , 또는 (II) 같은 다리 뒤에 $(- 1)$ -곡선과 Wahl chain이 오는 경우. 경우 (I)에서, 우리는 오직 $1$ 를 가장 오른쪽의 $2$ 에서 뺄 수 있으며, 강제한다 $q = 4$ . 이것은 type (c) $q = 4$ , $r = 1$ 이다. 경우 (II)에서, 다시 continued fractions의 duality에 의해, Wahl chain은 다음 형태를 가져야 한다 $[2, 2, 2, q + 3]$ , 이는 다시 강제한다 $q = 4$ .

Type (f):우리는 가진다 $d = q + 6$ 그리고, Lemma에 의해3.2, $α + 1 = 3$ . 따라서 $α = 2 = q$ , 그리고 이것은 다음을 갖는 type (f)이다 $q = 2$ .

Type (j):우리는 가진다 $d = q + 4$ 그리고, Lemma에 의해3.2, $α + 1 = 6$ , 따라서 이것은 다음을 갖는 type (j)이다 $q = 4$ .

이것들이 모든 combinatorial possibilities이다. 다른 한편, Artin의 contractibility criterion에 의해, 다음에서 시작하여 $𝔽_{8}$ blow-ups의 composition에서 대응하는 configurations를 축약할 수 있으며 $X \to 𝔽_{8}$ , Figure에 보인 여섯 surfaces를 얻는다1. 다음을 $ϕ : X \to W$ contraction이라고 하자. 이제 우리는 smoothing의 존재를 증명한다 $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ 다음을 갖는 $W_{t} = ℙ_{ℂ}^{2}$ 에 대해 $t \neq 0$ . 다음에 의해[5, Thm. 5.1], deformation하는 데 local-to-global obstructions가 없다 $W$ , 왜냐하면 유일한 non-Wahl singularity는 valency $3$ $ℚ$ HDsingularity이기 때문이다 (참조[5, Rem. 5.2]). 의 각 singularity가 $W$ 하나의 $ℚ$ HDsmoothing을 허용하므로, 이러한 local smoothings는 globalize되어 원하는 smoothing을 준다 $W$ . Wahl은[23]다음을 증명했다 $𝒲$ 는 log terminal이고 $ℚ$ -Gorenstein이다, 즉 그것은 국소적으로 singularities of $W$ 의 canonical cover의 equivariant deformation의 quotient이다. 특히, $- m K_{𝒲}$ 는 어떤 $m \in ℤ_{> 0}$ 에 대해 Cartier이다. 이므로 $K_{W}^{2} = 9$ 및 $- K_{W}$ 가 ample이므로, 다음이 따른다 $K_{W_{t}}^{2} = 9$ 및 $- K_{W_{t}}$ 는 다음에 의해 ample이다[13, Prop. 1.41]. 따라서 $W_{t} = ℙ_{ℂ}^{2}$ . ∎

Remark 3.4.

다음의 minimal resolutions에서 $(- 1)$ -곡선의 image가 $W_{c}$ 및 $W_{b}$ (Figure 참조1) slidings를 정의한다는 것을 확인하는 것은 straightforward하다[5, Def. 3.17]surfaces로 $W_{c 5}$ 및 $W_{b 13}$ , 각각. 따라서, 적어도 이 두 surfaces에 대해서는, 의 log terminal 및 non-log terminal rational degenerations 사이에 common degeneration이 있다 $ℙ_{ℂ}^{2}$ .

4. 새로운 degenerations 위의 MMP

다음을 $W$ Theorem의 여섯 surfaces 중 하나라고 하자1.1non-log terminal singularity를 갖는 $(p \in W)$ . 다음을 $(W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻)$ 하나의 $ℚ$ HDsmoothing이라고 하자. 위에서 언급한 바와 같이, Wahl은[23]다음을 증명했다 $𝒲$ 는 log terminal이고 $ℚ$ -Gorenstein이다. 그는 또한 다음에서 weighted blow-up의 존재를 보였다 $(p \in 𝒲)$ , 이는 의 Seifert partial resolution이라고 불린다 $𝒲$ 에서 $p$ (참조[5, Def. 5.3]), 위에 새로운 degeneration을 생성하여 $𝔻$

(W^{'} \cup Z) \subset 𝒲^{'} \to (W \subset 𝒲) \to (0 \in 𝔻),

다음을 만족한다 (참조[5, Sect. 7]):

•

$W^{'}$ 및 $Z$ 는 curve를 따라 교차하는 projective surfaces이다 $Δ ≃ ℙ_{ℂ}^{1}$ .
•

restriction $(Δ \subset W^{'}) \to (p \in W)$ 은 다음의 Seifert partial resolution이다 $ℚ$ HDsingularity $(p \in W)$ , star resolution의 central curve만을 추출한다. Surface $Δ$ 는 세 개의 cyclic quotient singularities를 가진다 $W^{'}$ star dual graph의 세 다리에 대응하는 $\frac{1}{m_{i}} (1, q_{i})$ .
•

Surface $Z$ 는 다음의 compactified Milnor fiber이다 $ℚ$ HDsmoothing of $(p \in W)$ (참조[5, Def. 5.5]). 그것은 세 개의 cyclic quotient singularities를 가진다 $\frac{1}{m_{i}} (1, m_{i} - q_{i})$ 위에 놓인 $Δ$ 위의 것들과 같은 점들에서 $W^{'}$ . Fiber $W^{'} \cup Z$ 는 다음에서와 같은 orbifold double normal crossing singularities를 가진다[12, Sect. 5].

다음을 $Γ^{-}$ 안에서의 image라고 하자 $W$ 의 $(- 1)$ fiber 안의 -곡선 $π^{'} : X \to ℙ_{ℂ}^{1}$ . 그 proper transform을 같은 문자로 표기하자, 안에서 $W^{'}$ .

Lemma 4.1.

Curve $Γ^{-} \subset W^{'}$ 는 flipping type의 extremal neighborhood를 유도한다 $(Γ^{-} \subset 𝒲) \to (q \in 𝒴)$ 사이에 $3$ -겹 위에서 $𝔻$ . 그것은 k1A 유형의 준안정이다 ( $W$ 가 하나의 특이점을 가지는 경우) 또는 k2A ( $W$ 가 두 개의 특이점을 가지는 경우), 에서와 같이[10].

증명.

먼저, 각 $W$ 에 대해 우리는 다음을 가진다 $Γ^{-} \cdot K_{𝒲^{'}} = Γ^{-} \cdot (K_{W^{'}} + {Δ |}_{W^{'}})$ 는 다음과 같다

- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{4}{21}, - \frac{11}{144}, - \frac{4}{21 \cdot 5}, - \frac{11}{144 \cdot 13}

각각 유형 (j), (f), (c), (b), (c5) 및 (b13)에 대해. 더욱이, 우리는 $Γ^{-}^{2} < 0$ 로서 $Γ^{-}$ 는 에서 수축 가능하다 $W^{'}$ , 따라서 그것은 다음에 대한 극단 광선이다 $K_{W^{'}} + {Δ |}_{W^{'}}$ . 이제 우리는 에서의 단계 (1)–(7)을 따른다[5, Sect. 7]. 유일한 미묘함은 준안정에서 발생한다 $k 1 A$ 극단 근방. 쌍유리 사상이 있으므로 $𝒲^{'} \to 𝒲$ 위에서 $𝔻$ 오직 를 수축하는 $Z$ , 주위의 Milnor fiber는 $Γ^{-}$ 주위의 평활화의 Milnor fiber와 같다 $Γ^{-} \subset W$ . 그것의 두 번째 Betti 수는 다음과 같다 $1$ , 왜냐하면 $Γ^{-} ≃ ℙ_{ℂ}^{1}$ 그리고 그 특이점은 다음을 허용한다 $ℚ$ HD평활화. 따라서, 우리는 다음 유형의 준안정 플리핑 극단 근방을 얻는다 $k 1 A$ 두 번째 Betti 수가 다음과 같은 $1$ . 에 의해[10, Prop. 2.1], 그것은 다음의 하나이다 $k 1 A$ 에서의 근방들[10]. ∎

정리의 증명1.2.

먼저, 우리는 flip $(Γ^{+} \subset 𝒲^{+}) \to (q \in 𝒴)$ 가 주위에서 같은 국소적 기술을 가진다는 점에 주목한다 $Γ^{+}$ 둘 다 다음의 경우에서 $k 1 A$ 및 $k 2 A$ 경우, 왜냐하면 $k 1 A$ 및 $k 2 A$ 극단 근방들은 에 의해 변형 동치이다[10]. 따라서, 우리는 그것을 다음의 flip으로 간주할 수 있다 $k 2 A$ 극단 근방. 그런 다음 우리는 에서 단계 (7)의 논증을 직접 적용한다[5, Sect. 7]. 플립된 곡선 $Γ^{+}$ 는 에 포함되어 있고 $Z^{+}$ 에는 포함되어 있지 않다 $W^{+}$ . 여섯 개의 가능한 표면 각각에 대해 유의하라 $W$ , 를 수축하는 것은 $Γ^{-}$ 에서 상 표면 위의 비특이점을 만든다 $𝒴$ , 따라서 위에서도 $W^{+}$ . 결과적으로, 위의 대응하는 점 $Z^{+}$ 도 비특이점이다. 직접적인 계산은 플립된 곡선들의 자기교차수의 목록을 준다 $Γ^{+}$ 및 추가 Wahl 체인, 여섯 표면 각각에 대해 flip 후 나타나는 Wahl 특이점에 대응하는 $W$ . 우리는 또한 위의 두 순환 몫 특이점의 연분수를 기록한다 $Z^{+}$ 위에 놓여 있는 $Δ$ , 여기서 $Δ^{2} = - 1$ .

(j): $Γ^{+}^{2} = - 2$ 그리고 Wahl 체인은 없음; $[2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 1, 2, 2, 2, 2, 2]$ .

(f): $Γ^{+} = - 2$ 그리고 Wahl 체인은 없음; $[2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 2]$ .

(b) 및 (b13): $Γ^{+}^{2} = - 1$ 그리고 $[7, 5, 2, 2, 2, 2, 2]$ ; $[2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 2, 2, 2, 2]$ .

이므로 $ρ (W^{+}) = 1$ , 우리는 다음을 가진다 $K_{W^{+}} + Δ^{+}$ 는 ample이다 왜냐하면 $Δ^{+} \cdot (K_{W^{+}} + Δ^{+}) = - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} < 0$ , 여기서 $a$ 및 $b$ 는 위의 두 순환 몫 특이점의 차수이다 $W^{+}$ . 우리는 다음을 가진다 ${(Δ^{+})}^{2} > 0$ 에서 $W^{+}$ , 반면에 ${(Δ^{+})}^{2} < 0$ 에서 $Z^{+}$ . 따라서 $Δ^{+} \cdot K_{𝒲^{+}} = Δ^{+} \cdot (K_{W^{+}} + Δ^{+}) < 0$ , 그러므로 (의 증명에서와 같이[11, Lem. 9.5]) divisorial contraction이 존재한다 $(W^{+} \cup Z^{+} \subset 𝒲^{+}) \to (\bar{Z} \subset \bar{𝒲})$ 를 수축하는 $W^{+}$ . 모든 여섯 경우에서, 의 수축은 $Δ^{+}$ 안에서 $Z^{+}$ 위에 나열된 연분수들로부터 따르듯이 매끄러운 점이다. 더욱이, $ρ (Z^{+}) = 2$ , 따라서 $ρ (\bar{Z}) = 1$ , 주장한 목록을 준다. 결과로 얻어지는 족은 반드시 $ℚ$ -Gorenstein이다. ∎

5. BPS 예

최근에, Beke, Plamenevskaya 및 Starkston[2]은 가중 동차가 아니지만 그 최소 해소가 symplectic rational blow-down을 허용하는 유리 특이점들의 무한 족을 구성했다. 이 예들은 rational homology disk인 Stein filling을 허용하지만, 다음은 허용하지 않는다 $ℚ$ HD평활화.

이 예들 중 일부가 Remark2.1를 만족한다고 가정하자. 그러면 Figure의 구성이5유일한 가능성임을 확인하기 쉽다 ([2]의 표기법에서, $k = 1$ 및 $n = 7$ ). 실제로, 그 $(- 1)$ -곡선은 하나의 점에서 횡단적으로 -곡선과 교차해야 하며, $(- 2)$ 가능한 위치는 오직 하나뿐이다. 따라서, 우리는 다시 다음으로 시작한다 $𝔽_{8}$ 그리고 하나의 fiber 위에서 blow up하여 다음을 얻는다 $X$ . Artin의 수축 가능성 판정법에 의해, 특이 표면을 얻는다 $W_{B P S}$ 하나의 유리 특이점을 가지는, $- K_{W_{B P S}}$ ample, $ρ (W_{B P S}) = 1$ , 그리고 $K_{W_{B P S}}^{2} = 9$ . 표면 $W_{B P S}$ 는 다음으로 평활화될 수 없다 $ℙ_{ℂ}^{2}$ .

Theorem 5.1.

의 symplectic rational blow-down $X$ 안의 BPS 구성에 따른 $X$ (Figure에 표시됨5) 는 $ℙ_{ℂ}^{2}$ .

증명.

의 증명에서와 정확히 같이[19, Thm. 2.3], 우리는 symplectic form을 추적할 수 있다 $ω$ symplectic rational blow-down 위에서 $Y$ 안의 구성의 $X$ (의 최소 해소 $W := W_{B P S}$ ). 그로부터 다음이 따른다 $[ω] = - M K_{W}$ 어떤 에 대해 $M > 0$ . 우리는 다음을 상기한다 $- K_{W}$ 는 ample이다. 다른 한편, rational blow-down이 그 구성을 rational homology disk로 대체하므로, 우리는 다음을 가진다 $H_{2} (Y) \subset H_{2} (W)$ 유한 index로. 더욱이, symplectic canonical class $K_{Y}$ 는 다음으로 표현된다 $K_{W}$ , 따라서 $K_{Y} \cdot [ω] < 0$ . Liu 및 Ohta–Ono의 결과에 의해 (참조[17, Cor. 1.4(ii)]), 다음이 따른다 $Y$ 는 유리적이다. 이므로 $b_{2} (Y) = 1$ , 우리는 다음을 결론짓는다 $Y = ℙ_{ℂ}^{2}$ . ∎

참고문헌

[1] L. Bădescu (1986) 유리 및 ruled surfaces의 normal projective degenerations. J. Reine Angew. Math. 367, pp. 76–89. 인용됨:§1, §1, 항목 (R4), §2.
[2] M. Beke, O. Plamenevskaya, 및 L. Starkston (2026) 예상치 못한 rational blowdown. 외부 링크:2510.00115, 링크 인용됨:§1, §5, §5.
[3] M. Beke (2026) QHD smoothing을 허용하는 최소 유리 그래프. 외부 링크:2504.06929, 링크 인용됨:§1.
[4] M. Bhupal 및 A. I. Stipsicz (2011) Weighted homogeneous singularities and rational homology disk smoothings. Amer. J. Math. 133 (5), pp. 1259–1297. 인용됨:§1, Figure 2, Figure 3.
[5] M. Canedo 및 G. Urzúa (2026) 타원 표면의 rational homology disk degenerations. 외부 링크:2605.06668, 링크 인용됨:§1, §2, §2, §2, §3, Remark 3.4, §4, §4, 3번째 항목, §4, §4.
[6] M. Canedo (2025) QHD 특이점의 discrepancies 계산. 주:
[87] https://colab.research.google.com/drive/1BgJJCC0qD8eTAmpa3kdrB7CG2GsvNc6d?usp=sharing

인용됨:§1, §2.

[7] K. DeVleming 및 D. Stapleton (2024) 소수 차수 및 Markov numbers의 평면 곡선의 smooth limits. J. Éc. polytech. Math. 11, pp. 683–731. 인용됨:§1.
[8] G. Greuel 및 J. Steenbrink (1983) 평활화 가능한 특이점의 위상에 관하여. 수록Singularities, Part 1 (Arcata, Calif., 1981), Proc. Sympos. Pure Math., Vol.40, pp. 535–545. 인용됨:§2.
[9] P. Hacking 및 Y. Prokhorov (2010) 몫 특이점을 가진 평활화 가능한 del Pezzo surfaces. Compos. Math. 146 (1), pp. 169–192. 인용됨:§1, §3.
[10] P. Hacking, J. Tevelev, 및 G. Urzúa (2017) Flipping surfaces. J. Algebraic Geom. 26 (2), pp. 279–345. 인용됨:§4, §4, Lemma 4.1.
[11] P. Hacking (2004) 평면 곡선의 compact moduli. Duke Math. J. 124 (2), pp. 213–257. 인용됨:§1, §1, §3, §4.
[12] P. Hacking (2012) 일반형 표면의 compact moduli spaces. 수록Compact moduli spaces and vector bundles, Contemp. Math., Vol.564, pp. 1–18. 인용됨:3번째 항목.
[13] J. Kollár 및 S. Mori (1998) 대수다양체의 쌍유리 기하학. Cambridge Tracts in Mathematics, Vol.134, Cambridge University Press, Cambridge. 주:C. H. Clemens 및 A. Corti의 협력으로, 1998년 일본어 원본에서 번역됨 인용됨:§3.
[14] M. Manetti (1991) 복소 사영평면의 정규 퇴화. J. Reine Angew. Math. 419, pp. 89–118. 인용됨:§1, 항목 (R1), 항목 (R2), 항목 (R3), §2.
[15] M. Manetti (1993) 다음을 갖는 정규 사영 곡면 $ρ = 1, P_{- 1} \geq 5$ . Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 89, pp. 195–205. 인용됨:§1, 항목 (R5).
[16] M. Manetti (1996) 대수 곡면의 퇴화와 모듈라이 문제에의 응용, scuola normale superiore의 tesi di perfezionamento. 주:https://sites.google.com/uniroma1.it/marcomanetti/research 인용됨:§1, §2.
[17] D. McDuff 및 D. Salamon (1996) 심플렉틱에 대한 개관 $4$ -다양체로서 다음을 갖는 $b^{+} = 1$ . Turkish J. Math. 20 (1), pp. 47–60. 인용됨:§5.
[18] H. Park, D. Shin, 및 A. I. Stipsicz (2014) 유리 호몰로지 원판 평활화를 갖는 정규 복소 곡면 특이점. 외부 링크:1311.1929, 링크 인용됨:§1.
[19] J. Reyes 및 G. Urzúa (2025) 이국적 곡면. Math. Ann. 391 (1), pp. 227–254. 인용됨:§5.
[20] A. I. Stipsicz, Z. Szabó, 및 J. Wahl (2008) 유리 blowdown과 곡면 특이점의 평활화. J. Topol. 1 (2), pp. 477–517. 인용됨:§1, 각주 1.
[21] J. Wahl ([2021] ©2021) 유리 호몰로지 원판 평활화를 갖는 복소 곡면 특이점. 다음에 수록특이점과 그것들의 기하학 및 저차원 위상수학과의 상호작용—András Némethi를 기리며, Trends Math., pp. 259–287. 인용됨:§1, 각주 1.
[22] J. Wahl (2011) valency 4 곡면 특이점의 유리 호몰로지 원판 평활화에 관하여. Geom. Topol. 15 (2), pp. 1125–1156. 인용됨:§1.
[23] J. Wahl (2013) 등급화된 정규 곡면 특이점의 로그-터미널 평활화. Michigan Math. J. 62 (3), pp. 475–489. 인용됨:§1, §3, §4.